Question

4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论
（3）如果△AEG的面积S_△AEG=2，直接写出（2）中四边形ADCF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可；
（3）由AE∥CF且$\frac{AE}{CF}=\frac{1}{2}$可得△AEG∽△CFG，继而根据$\frac{{S}_{△AEG}}{{S}_{△CFG}}$=（$\frac{AE}{CF}$）²、$\frac{{S}_{△AEG}}{{S}_{△AFG}}$=$\frac{EG}{FG}$可得S_△CFG=8、S_△AFG=4，即可得答案．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FEA=∠BED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC．

（2）四边形ADCF是菱形，
证明：AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．

（3）四边形ADCF的面积为24．
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥FC，且AE=$\frac{1}{2}$AD，
∴△AEG∽△CFG，
∴$\frac{EG}{FG}$=$\frac{AE}{CF}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AEG}}{{S}_{△CFG}}$=（$\frac{AE}{CF}$）²=$\frac{1}{4}$，$\frac{{S}_{△AEG}}{{S}_{△AFG}}$=$\frac{EG}{FG}$=$\frac{1}{2}$，
∵S_△AEG=2，
∴S_△CFG=8，S_△AFG=4，
∴S_菱形ADCF=2（S_△CFG+S_△AFG）=24．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定、菱形的判定的应用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形与相似三角形的判定与性质是解题的关键．