Question

等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，以BC中点为圆心作与两腰相切的圆，过圆上一点F作切线交AB、AC于D、E，则BD•CE的值是

1. A.
   4
2. B.
   8
3. C.
   12
4. D.
   缺条件，不能求

Answer 1

A
分析：根据切线的性质得出：∠2=∠3，∠4=∠5，进而得出Rt△BON≌Rt△COM，得出∠1=∠6，求出∠7=∠5+∠6=∠EOC，进而即可得出△BOD∽△CEO，利用相似三角形的性质得出BD•EC=BO•CO=4即可．
解答：解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，以BC中点为圆心作与两腰相切的圆
∴∠ABC=∠ACB，BO=CO=2，
设⊙O与AB，AC分别相切于点N，M，过圆上一点F作切线交AB、AC于D、E，
连接ON，OM，FO，
故∠OND=∠OFD=∠OMC=90°，DN=DF，EF=EM，∠FDO=∠NDO，
可得：∠2=∠3，同理可得出：∠4=∠5，
在Rt△BON和Rt△COM中，
∵，
∴Rt△BON≌Rt△COM（HL），
∴∠1=∠6，
∴∠1+∠3+∠4=∠2+∠5+∠6=90°，
∵∠7=90°-∠2，
∴∠7=∠5+∠6=∠EOC，
又∵∠B=∠C，
∴△BOD∽△CEO，
∴=，
∴BD•EC=BO•CO=4．
故选：A．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质定理和相似三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△BOD∽△CEO是解题关键．