Question

（2012•天水）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=6，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．
（1）求AC的长．
（2）求CE：EA的值．
（3）在CB的延长线上取一点P，使CB=

1

2

BP，求证：直线PA与⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理和“圆内接四边形的对角互补”的性质推知△ACD是直角三角形，且∠D=60°，所以通过解该直角三角形来求AC的长度即可；
（2）利用圆周角定理推知∠AOB=90°．所以在Rt△AOB中求得EA=2

3

．结合（1）中AC=3

3

即可求得CE的值；
（3）欲证直线PA与⊙O相切，只需证明AD⊥AP即可．

解答：解：（1）∵∠ABC=120°，∴∠D=60°．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．
∵AD=6，∴AC=AD•sin60°=6×

3

2

=3

3

．

（2）∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°．
∴EA=

OA

cos30°

=2

3

．∴CE=AC-AE=

3

．
∴CE：EA=

3

：2

3

=1：2．

（3）证明：∵

CB

BP

=

1

2

，

CE

EA

=

1

2

，
∴

CB

BP

=

CE

EA

．
∴BE∥AP．
∵∠AOB=90°，
∴PA⊥OA．
∴直线PA与⊙O相切．

点评：本题综合考查了圆周角定理，切线的判定与性质以及解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．