Question

6．已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-4）=a²
（1）求证：对于任意实数a，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）先将一元二次方程化为一般式，然后计算出△的值，即可证明结论成立；
（2）根据根与系数的关系可以求得a的值及方程的另一个根．

解答 （1）证明：∵（x-3）（x-4）=a²
∴x²-7x+12-a²=0，
∴△=（-7）²-4×1×（12-a²）=1+4a²＞0，
∴对于任意实数a，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵（x-3）（x-4）=a²
∴x²-7x+12-a²=0，
∵该方程的一个根是1，
∴另一个根是：$-\frac{-7}{1}-1=6$，
∴12-a²=1×6，
解得，a=$±\sqrt{6}$，
即a的值是$±\sqrt{6}$，另一个根是6．

点评 本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．