Question

如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点P，过P的直线交⊙O₁于A，交⊙O₂于B，AC切⊙O₂于C，交⊙O₁于D，且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-

m+16

x+4=0的两个根．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求PC的长；
（3）若弧BP=弧BC，且S_△PBC：S_△APC=1：k，求代数式m（k²-k）的值．

Answer 1

分析：（1）两圆内切，通常是作两圆的公切线，此题也不例外．过P作两圆的公切线MN，根据弦切角定理，易证得∠MPA=∠PCB=∠D，而AD是⊙O₂切线，所以∠PCD=∠PBC，由此可证得△PBC∽△PCD，即可得到∠1=∠2．
（2）通过（1）题相似三角形所得到的比例线段，即可得到PC²=PB•PD，根据韦达定理可知PB•PD=4，由此可求出PC的长．
（3）由于△PBC和△APC等高不同底，所以面积比等于底边的比，即AB：AP=（k-1）：k；由于弧BP=弧BC，则∠1=∠BCP=∠2，由此可证得PD∥BC，则△ABC∽△APD，故BC：PD=（k-1）：k，而BC=PB，代入上式可求得PD的表达式，根据韦达定理可求得PB+PD的值，即可得到PB的表达式，将PB、PD的值代入PB•PD=4中，即可求出代数式的值．

解答：（1）证明：过P作两圆的公切线MN，则有：
∠MPA=∠PCB=∠D；
又∵AD是⊙O₂的切线，
∴∠PCD=∠PBC，
∴△PBC∽△PCD，
∴∠1=∠2．

（2）解：由（1）知：△PBC∽△PCD，得：
PB：PC=PC：PD，即PC²=PB•PD；
∵PB、PD的长是关于x的方程x2-

m+16

x+4=0的两个根，
∴PB•PD=4，
∴PC²=4，即PC=2．

（3）解：∵S_△PBC：S_△APC=1：k，
∴AP：BP=k：1，即AB：AP=（k-1）：1；
∵

BP

=

BC

，
∴∠1=∠BCP，BP=BC；
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCP；
∴BC∥PD，
∴△ABC∽△APD，
∴

BC

PD

=

AB

AP

，即

BP

PD

=

AB

AP

；
∴

BP

PD

=

k-1

k

，即PB=

k-1

k

PD，
又∵PB+PD=

m+16

，
∴PB=

(k-1) m+16

2k-1

，PD=

k m+16

2k-1

；
∵PB•PD=4，即：

(k-1) m+16

2k-1

×

k m+16

2k-1

=4，
化简得：k（k-1）（m+16）=4（2k-1）2，即：
（m+16）k²-（m+16）k=16k²-16k+4，
mk²-mk=4，即m（k²-k）=4．

点评：此题主要考查了韦达定理，弦切角定理，圆心角、弧、弦的关系以及相似三角形的判定和性质等知识，第（3）问的计算量较大，难点在于不知如何下手，能够通过相似三角形和韦达定理得到PB、PD的表达式是解决此题的关键．