Question

17．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP．

Answer 1

分析 （1）连接OE，如图，利用圆周角定理得到∠CED=90°，即∠CEO+∠OED=90°，加上∠C=∠CEO，∠PED=∠C．则∠PED+∠OED=90°，即∠OEP=90°，然后根据切线的性质定理可判定PE是⊙O的切线；
（2）利用圆周角定理得到∠AEB=90°，再利用AE∥CD得到∠EFD=90°，接着利用等角的余角相等可判断∠FED=∠C，所以∠PED=∠FED．

解答 证明：（1）连接OE，如图，
∵CD为直径，
∴∠CED=90°，即∠CEO+∠OED=90°，
∵OC=OE，
∴∠C=∠CEO，
∴∠C+∠OED=90°，
∵∠PED=∠C．
∴∠PED+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
而AE∥CD，
∴∠EFD=90°，
∴∠FED+∠EDF=90°，
而∠C+∠EDC=90°，
∴∠FED=∠C，
∴∠PED=∠FED，
∴ED平分∠BEP．

点评 本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理．