Question

如图，点I是△ABC的内心，AI交BC边于D，交△ABC的外接圆于点E．
求证：（1）IE=BE；
　　 （2）IE是AE和DE的比例中项．

Answer 1

证明：（1）连接BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BIE=∠2+∠3，
∠IBE=∠5+∠4，
而∠5=∠1=∠2，
∴∠BIE=∠IBE，
∴IE=BE．

（2）根据（1）可得：
∵∠2=∠1=∠5，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BED，
∴=，
∵BE=IE，
∴=，
∴IE是AE和DE的比例中项．
分析：（1）连接BI，根据I是△ABC的内心，得出∠1=∠2，∠3=∠4，再根据∠BIE=∠2+∠3，∠IBE=∠5+∠4，而∠5=∠1=∠2，得出∠BIE=∠IBE，即可证出IE=BE．
（2）根据（1）可得∠2=∠1=∠5，∠E=∠E，则△AEB∽△BED，=，再根据BE=IE，可得出=，即可证出IE是AE和DE的比例中项．
点评：此题考查了三角形的内切圆与内心，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、三角形的内心，关键是做出辅助线、证出三角形相似．