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    在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．
    （1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为______；
    （2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．
    （3）连接AD，当OC∥AD时，
    ①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

    【答案】分析：（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；
    （2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；
    （3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则=，即=，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C点坐标；
    ②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．
    解答：解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
    ∴OA=OB=6，
    ∴△OAB为等腰直角三角形，
    ∴∠OBA=45°，
    ∵OC∥AB，
    ∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；
    当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°-∠OBA=135°；

    （2）∵△OAB为等腰直角三角形，
    ∴AB=OA=6，
    ∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
    过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
    ∵△OAB为等腰直角三角形，
    ∴AB=OA=6，
    ∴OE=AB=3，
    ∴CE=OC+CE=3+3，
    △ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．
    ∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，
    △ABC的面积最大，最大值为9+18．

    （3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，
    ∵OC∥AD，
    ∴∠ADO=∠COD=90°，
    ∴∠DOA+∠DAO=90°
    而∠DOA+∠COF=90°，
    ∴∠COF=∠DAO，
    ∴Rt△OCF∽Rt△AOD，
    ∴=，即=，解得CF=，
    在Rt△OCF中，OF==，
    ∴C点坐标为（-，）；
    延长CO交⊙O于点C′，则OC′∥AD，
    ∵C′与C关于原点O对称，
    ∴C′点坐标为（，-）；
    故所求点C的坐标为（-，）或（，-）；

    ②当C点坐标为（-，）时，直线BC是⊙O的切线．理由如下：
    在Rt△OCF中，OC=3，CF=，
    ∴∠COF=30°，
    ∴∠OAD=30°，
    ∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
    ∵在△BOC和△AOD中
    ，
    ∴△BOC≌△AOD（SAS），
    ∴∠BCO=∠ADC=90°，
    ∴OC⊥BC，
    ∴直线BC为⊙O的切线；
    当C点坐标为（，-）时，显然直线BC与⊙O相交，不是⊙O的切线．
    点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．
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