Question

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ODC中，根据射影定理即可求出OB的长，由此可得到B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）易知△AOD是等腰Rt△，若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，那么△PQM也必须是等腰Rt△；由于∠QPM≠90°，因此本题分两种情况：
①PQ为斜边，M为直角顶点；②PM为斜边，Q为直角顶点；
首先求出直线AD的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到PQ的长；在①中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在②中，PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标；
（3）①若四边形PQNM是菱形，首先必须满足四边形PMNQ是平行四边形，此时MN与PQ相等，由此可得到P点坐标，然后再判断PQ是否与PM相等即可；
②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，因此本题只需考虑MN∥PQ这一种情况；若四边形PMNQ是等腰梯形且MN、PQ为上下底，那么根据等腰梯形的对称性可知：Q、P的纵坐标的和应该等于N、M的纵坐标的和，据此可求出P、Q的坐标，然后再判断QN与PM是否平行即可．

解答：解：（1）在Rt△BDC中，OD⊥BC，
由射影定理，得：OD²=OB•OC；
则OB=

OD2

OC

=1；
∴B（-1，0）；
∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有：
a（0+1）（0-4）=4，a=-1；
∴y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4；

（2）因为A（-2，0），D（0，2）；
所以直线AD：y=x+2；
联立

y=-x2+3x+4 y=x+2

，
解得

x=1- 3 y=3- 3

或

x=1+ 3 y=3+ 3

，
则F（1-

3

，3-

3

），G（1+

3

，3+

3

）；
设P点坐标为（x，x+2）（1-

3

＜x＜1+

3

），则Q（x，-x²+3x+4）；
∴PQ=-x²+3x+4-x-2=-x²+2x+2；
易知M（

3

2

，

7

2

），
若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形；
①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|x_M-x_P|，即：
-x²+2x+2=2（

3

2

-x），
解得x=2-

3

，x=2+

3

（不合题意舍去）
∴P（2-

3

，4-

3

）；
②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|x_M-x_Q|，
即：-x²+2x+2=

3

2

-x，
解得x=

3- 11

2

，x=

3+ 11

2

（不合题意舍去）
∴P（

3- 11

2

，

7- 11

2

）
故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2-

3

，4-

3

）或（

3- 11

2

，

7- 11

2

）；

（3）易知N（

3

2

，

25

4

），M（

3

2

，

7

2

）；
设P点坐标为（m，m+2），
则Q（m，-m²+3m+4）；（1-

3

＜m＜1+

3

）
∴PQ=-m²+2m+2，NM=

11

4

；
①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有：
MN=PQ，
即：-m²+2m+2=

11

4

，
解得m=

1

2

，m=

3

2

（舍去）；
当m=

1

2

时，P（

1

2

，

5

2

），Q（

1

2

，

21

4

）
此时PM=

2

≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形；
②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，
所以若四边形PMNQ是等腰梯形，只有一种情况：PQ∥MN；
依题意，则有：

1

2

（y_N-y_Q）=

1

2

（y_P-y_M），
即

1

2

（y_N+y_M）=

1

2

（y_P+y_Q），
即

25

4

+

7

2

=-m²+3m+4+m+2，
解得m=

5

2

，m=

3

2

（舍去）；
当m=

5

2

时，P（

5

2

，

9

2

），Q（

5

2

，

21

4

），此时NQ与MP不平行，
∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（

5

2

，

9

2

）．

点评：此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件．