Question

（2012•博野县模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=

4

3

x+8与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x₀，0），其中x₀＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．
（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P₀，使P₀到点A与点C的距离之和最小；
（2）若△PAC周长的最小值为10+2

41

，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P₀HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，计算求出x的值，即可得到点A的坐标，根据轴对称性，连接CB与对称轴l的交点即为到点A与点C的距离之和最小的点；
（2）当点P在点P₀处时，△PAC的周长最小，此时三角形的周长等于AC+CB，再根据直线AC的解析式求出点C的坐标，再根据勾股定理求出AC的长，从而得到CB的长度，再次利用勾股定理列式求出OB的长度，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式进行计算求出抛物线解析式，转化为顶点式形式写出顶点坐标即可；
（3）先表示出OM的长度，然后判定△OMH和△OCB相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求出MH的长度，过点M作MD⊥CB于点D，然后根据∠OCB的正弦列式求出MD的长度，再根据平行线间的距离相等，点P₀到MH的距离等于MD的长度，再根据三角形的面积公式列式并整理即可得到S与t的函数关系式，最后根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）令y=0，则

4

3

x+8=0，
解得x=-6，
所以，点A的坐标为A（-6，0），
连接CB与直线l相交于一点，交点即为P₀；

（2）当点P在点P₀处时，△PAC的周长最小，
此时，可求点C的坐标为（0，8），
在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=

62+82

=10，
∵△PAC周长的最小值为10+2

41

，
∴CB=10+2

41

-10=2

41

，
在Rt△BOC中，OB=

OB2-OC2

=

(2 41 )2-82

=10，
∴点B的坐标为（10，0），
∵点A（-6，0），B（10，0），C（0，8）都在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴

36a-6b+c=0 100a+10b+c=0 c=8

，
解得

a=- 2 15 b= 8 15 c=8

，
∴抛物线的解析式为y=-

2

15

x²+

8

15

x+8，
∵y=-

2

15

x²+

8

15

x+8=-

2

15

（x²-4x+4）+

8

15

+8=-

2

15

（x-2）²+

128

15

，
∴顶点N的坐标为（2，

128

15

）；

（3）∵点M的速度是每秒2个单位，
∴OM=OC-CM=8-2t，
∵MH∥CB，
∴△OMH∽△OCB，
∴

MH

CB

=

OM

OC

，
即

MH

2 41

=

8-2t

8

，
解得MH=

4-t

2

41

，
过点M作MD⊥CB于点D，则sin∠OCB=

MD

CM

=

OB

CB

，
即

MD

2t

=

10

2 41

，
解得MD=

10 41

41

t，
根据平行线间的距离可得，点P₀到MH的距离等于MD的长度，
所以，S=

1

2

×

4-t

2

41

×

10 41

41

t=-

5

2

t²+10t，
∵8÷2=4，
∴0＜t＜4，
∵y=-

5

2

t²+10t=-

5

2

（t²-4t+4）+10=-

5

2

（t-2）²+10，
∴当t=2时，S有最大值，最大值为10．

点评：本题综合考查了二次函数，主要利用了最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式，顶点坐标的求解，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，难度较大，需仔细分析，理清题目的数量关系与变化过程方可正确求解．