Question

如图，已知：⊙O是ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，连接DF，作EP⊥DF，垂足为点P，连接PB，PC．求证：∠DPB=∠FPC．

Answer 1

证明：分别过B、C作DF的垂线交DF延长线于G、H两点，
∵⊙O是ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BE=BD，CF=CE，AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠BDG=∠CFH，
又∵∠G=∠H=90°，
∴△BDG∽△CHF，
∴=，
∴=，
∵∠G=∠EPG=∠H=90°，
∴BG∥EP∥CH，
∴=，
∴=，
又∵∠G=∠H=90°，
∴△BGP∽△CHP，
∴∠DPB=∠FPC．
分析：分别过B、C作DF的垂线交DF延长线于G、H两点，证△BDG和△CHF相似，得到=，根据BE=BD，CF=CE，AD=AF，推出=，进而证出△BGP和△CHP相似，根据相似三角形的对应角相等即可得出答案．
点评：本题主要考查了三角形的内切圆和内心，相似三角形的性质和判定等知识点，根据已知和辅助线证出△BPG和△CPH相似是解此题的关键．题目比较典型，难度适当．