Question

11．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC=60°．若AD=2$\sqrt{3}$，则△ABC的周长为12+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再由AD⊥BC于点D，AD=2$\sqrt{3}$得出AC的长，根据勾股定理求出CD的长，在Rt△ABD中，根据∠B=60°可得出∠BAD=30°，故AB=2BD，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出AB的长，由此可得出结论．

解答 解：∵△ABC中，∠BAC=90°，ABC=60°
∴∠C=90°-60°=30°．
∵AD⊥BC于点D，AD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2AD=4$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{{AC}^{2}-{AD}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{3}）}^{2}-{（2\sqrt{3}）}^{2}}$=6．
在Rt△ABD中，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD．
∵AB²=BD²+AD²，即4BD²=BD²+（2$\sqrt{3}$）²，解得BD=2，
∴AB=4，BC=BD+CD=2+6=8，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=4+4$\sqrt{3}$+8=12+4$\sqrt{3}$．
故答案为：12+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．