Question

1．已知：如图，△ABC中．
（1）尺规作图：求作△ABC的内切圆O，保留作图痕迹，不写作法；
（2）圆O的一条切线交边BA，BC于点D、E，若△BDE的周长为20，求点B到圆O的切线长．

Answer 1

分析 （1）分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两平分线相交于点O，再过点O作OH⊥BC于H，然后以点O为圆心，OH为半径作圆，则⊙O为△ABC的内切圆；
（2）作OQ⊥AB于Q，OP⊥DE于P，如图，利用切线长定理得到EQ=EP，DP=DH，BQ=BH，由于BE+BD+DP+EP=20，利用等线段代换得到BE+BD+DH+EQ=20，则BQ+BH=20，所以BQ=BH=10．

解答 解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）作OQ⊥AB于Q，OP⊥DE于P，如图，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴点P、Q为切点，
∵DE为⊙O的切线，
∴P点为切点，
∴EQ=EP，DP=DH，BQ=BH，
∵△BDE的周长为20，
∴BE+BD+DP+EP=20，
∴BE+BD+DH+EQ=20，
即BQ+BH=20，
∴BQ=BH=10，
即点B到圆O的切线长为10．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线长定理．