Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）求菱形AEDF的面积；
（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，证得点D是BC的中点；根据三角形的中位线定理，即可证得：DE∥AC，DF∥AB，根据题目中的条件，即可证得结论；
（2）根据中位线定理，即可求出线段EF的长度；根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求出菱形面积；
（3）根据平行四边形的对边相等，列出关于t的方程，求出t即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴DE和DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，
∴AE=AF∴平行四边形AEDF是菱形；
（2）解：∵EF为△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵AD=8，AD⊥EF，
∴S_菱形AEDF=$\frac{1}{2}$AD•EF=$\frac{1}{2}$×8×5=20；
（3）解：∵EF∥BC
∴EH∥BP，
若四边形BPHE为平行四边形，则需EH=BP，
∴5-2t=3t，解得：t=1，
∴当t=1秒时，四边形BPHE为平行四边形，
∵EF∥BC，
∴FH∥PC，
若四边形PCFH为平行四边形，则需FH=PC，
∴2t=10-3t，解得：t=2，
∴当t=2秒时，四边形PCFH为平行四边形．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质、菱形的性质与判定、平行四边形的性质与判定的综合应用，解决此类问题，需要将各知识点融合，熟练应用相关的知识点是解题的关键．