Question

已知AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α．
（1）若α=60°（如图1）探究线段AD与CE的数量关系，并加以证明；
（2）若α=120°，并且点D在线段AB上，（如图2）则线段AD与CE的数量关系为

 

；（直接写出答案）
（3）探究线段AD与CE的数量关系（如图3）并加以证明．

Answer 1

分析：（1）要探究线段AD与CE的数量关系，观察图形，猜测它们相等．而AD，CE不在同一个三角形中，因此要使AD，CE所在的三角形全等．为此连接BC、BE，证明△ABD≌△CBE，得出结论．
（2）过D作DF⊥BE于F，则BE=2BF，根据已知及三角函数即可得到结论．
（3）要探究线段AD与CE的数量关系，需使AD，CE成为相似三角形的对应边，为此连接BC、BE，证明△ABD∽△CBE，得出AD：CE=BD：BE，在等腰△BDE中根据三角函数的定义用顶角的代数式表示BD：BE，求出结果．

解答：解：（1）AD=CE．
证明：连接BC、BE，
∵AB=AC∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．（1分）
同理△DBE也是等边三角形．
∴AB=BCBD=BE∠ABC=∠DBE=60°．
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE．（2分）
∴△ABD≌△CBE．（3分）
∴AD=CE．（4分）

（2）∵∠DEB=30°=∠ACB，
∴B，E，C三点共线．
∵DE∥AC，
∴CE：AD=BE：BD．
过D作DF⊥BE于F，则BE=2BF，
∵BF：BD=cos∠B=cos30°，
∴CE：AD=2cos30°．
∴AD=

3

3

CE．（5分）

（3）连接BC、BE，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．（6分）
∴

AB

BD

=

BC

BE

，∠ABC=∠DBE．
∴

AB

BC

=

BD

BE

．（7分）
∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，（8分）
∴

AD

CE

=

BD

BE

．（9分）
作DH⊥BE于H，
∵DB=DE，
∴∠BDH=

1

2

∠BDE=

α

2

，（10分）
BE=2BH=2BD•sin∠BDH=2BD•sin

α

2

．（11分）
∴

AD

CE

=

1

2sin α 2

．
即CE=2•AD•sin

α

2

．（12分）

点评：本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定和性质．