Question

已知AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α．

（1）如图1，α=60°，探究线段CE与AD的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，α=120°，探究线段CE与AD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，结合上面的活动经验探究线段CE与AD的数量关系为______．（直接写出答案）．

Answer 1

【答案】分析：（1）CE=AD，理由为：连接BC，BE，如图1所示，当α=60°，由题意得到三角形ABC与三角形DBE都为等边三角形，可得出AB=BC，DB=BE，∠ABC=∠DBE=60°，利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形CBE全等，由全等三角形的对应边相等可得证；
（2）CE=AD，理由为：连接BE，BC，过A作AF垂直于BC于F点，如图2所示，由题意得到三角形ABC与三角形DBE都为等腰三角形，且两三角形相似，可得出两三角形的底角相等，且得出比例式，由底角相等利用等式的性质得到一对角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出三角形ABD与三角形CBE相似，由相似得出比例式，再由直角三角形ABF中三角形ABC的底角度数求出∠BAF的度数，利用锐角三角形函数定义表示出sin60°，利用特殊角的三角函数值及得出的比例式，变形后即可得证；
（3）由（1）（2）得出的结论，以此类推，即可得到线段CE与AD的数量关系．
解答：
（1）CE=AD，理由为：
证明：连接BC，BE，如图1所示，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α=60°，
∴△ABC与△BDE都为等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，DB=BE，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，
在△ABD与△CBE中，
∵，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴CE=AD；
（2）CE=AD，理由为：
连接BC、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，如图2所示，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α=120°，
∴△ABC与△DBE为相似的等腰三角形，即∠ABC=∠DBE=30°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，且=，
∴△ABD∽△CBE，
∴=，
在Rt△ABF中，由∠ABF=30°，得到∠BAF=60°，
∴==2sin60°=，
∴=，即CE=AD；
（3）由α=60°，得到CE=2ADsin=AD；
由α=120°，得到CE=2ADsin=AD，
以此类推，得到CE=2ADsin．
故答案为：CE=2ADsin．
点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．