Question

【题目】如图，四边形ABCD内一点E满足EB=EC，EA=ED，∠BEC=∠AED=90°，AC交DE于点F，交BD于点G．

(1)∠AGB的度数为

(2)若四边形AECD是平行四边形

①求证:AC=AB

②若AE=2，求AF·CG的值

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）①见解析，②AFCG= 4．

【解析】

(1)先利用SAS证明△BED≌△CEA，得∠DBE=∠ACE，由∠BHE=∠CHG，得到∠HGC=∠BEH=90°，从而∠AGB=90°；

(2)①由(1)可知△BED≌△CEA，得BD=CA，由平行四边形AECD，得AE=CD=DE，∠AED=∠EDC=90°，从而∠CED=45°，∠BED=135°，利用周角得到∠BEA=135°，可证△BAE≌△BDE，得到BD=BA，从而AC=AB；

②由①可知，△CAE≌△BAE，得∠BAE=∠EAC=∠BDE，由∠EAC+∠AFE=90°，∠GFD=∠AFE，得∠GFD+∠BDE=90°，从而∠CGD=90°，可证△CGD∽△AEF，根据相似三角形的性质得到=，由AE=4，从而得解.

解：(1)∵∠BEC=∠AED=90°，

∴∠BED=∠CEA，

又∵BE=EC，EA=ED，

∴△BED≌△CEA，

∴∠DBE=∠ACE，

又∵∠BHE=∠CHG，

∴∠HGC=∠BEH=90°，

∴∠AGB=90°；

(2)①∵四边形AECD是平行四边形，

∴∠AED=∠EDC=90°，AE=CD，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=ED，∴ED=CD，

∴∠CED=45°，

∴∠BED=90°+45°=135°，

∵∠AED=∠BEC=90°，

∴∠AEB=360°-90°-90°-45°=135°，又EB=EB，ED=EA，

∴△BAE≌△BDE（SAS），

∴DB=AB；

∵∠BEC=∠AED=90°，

∴∠BED=∠CEA，

∵EB=EC,EA=ED，

∴△BED≌△CEA，

∴BD=CA，

∴AC=AB.

②∵△BAE≌△BDE，

∴△CAE≌△BAE，

∴∠BAE=∠CAE=∠BDE，

∵∠EAF+∠AFE=90°，

∴∠AFE+∠BAE=90°，

∵∠GFD=∠AFE，∠EDB=∠EAB，

∴∠EDB+∠GFD=90°，

∴∠CGD=90°，

∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，

∴△CGD∽△AEF，

∴=，

∴AFCG=CDAE=4．

故答案为(1)90°；(2)①见解析，②4．