Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O，点B（-2，n）在这条抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线y=-2x沿y轴向下平移b个单位后得到直线l，若直线l经过B点，求n、b的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵拋物线经过原点，
∴m²-6m+8=0．
解得m₁=2，m₂=4．
由题意知m≠4，
∴m=2．
∴拋物线的解析式为．

（2）∵点B（-2，n）在拋物线上，
∴n=3．
∴B点的坐标为（-2，3）．
∵直线l的解析式为y=-2x-b，直线l经过B点，
∴3=-2（-2）-b．
∴b=1．

（3）∵拋物线的对称轴为直线x=2，直线l的解析式为y=-2x-1，
∴拋物线的对称轴与x轴的交点C的坐标为（2，0），
直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D（0，-1）、E（2，-5）．
过点B作BG⊥直线x=2于G，与y轴交于F．
则BG=4．
在Rt△BGC中，．
∵CE=5，∴CB=CE．
过点E作EH⊥y轴于H．
则点H的坐标为 （0，-5）．
∵点F、D的坐标为F（0，3）、D（0，-1），
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°，
∵在△DFB和△DHE中

∴△DFB≌△DHE（SAS）．
∴DB=DE．
∵PB=PE，
∴点P在直线CD上．
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点．
设直线CD的解析式为y=kx+a．
将D（0，-1）、C（2，0）代入，
得
解得
∴直线CD的解析式为．
设点P的坐标为（x，），
∴=．
解得 ，．
∴，．
∴点P的坐标为（，）或（，）．
分析：（1）利用拋物线经过原点，将（0，0）代入求出m即可；
（2）将点B（-2，n）代入拋物线求出n的值，进而得出直线l的解析式中b的值；
（3）首先求出E点坐标，进而得出△DFB≌△DHE，再求直线CD的解析式，将一次函数与二次函数联立求出交点坐标．
点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与二次函数交点问题等知识，利用数形结合得出符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点是解题关键．