Question

已知点A（2，m），B（3，n）在抛物线y=（x-1）²+1上，点P是该抛物线对称轴上一动点，则PA+PB的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：把A、B坐标代入解析式可求出A、B两点的坐标，设抛物线与y轴的交点为C，则可知C点坐标为（0，2），可知点C是点A关于x=1的对称点，连接BC交与对称轴的交点即为P点，过B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，可知CD=3，BD=3，可求得BC的长，即PA+PB的最小值．

解答：解：
∵点A（2，m），B（3，n）在抛物线y=（x-1）²+1上，
∴m=（2-1）²+1=2，n=（3-1）²+1=5，
∴A为（2，2），B为（3，5），
设抛物线y=（x-1）²+1与x轴的交点坐标为C，可求得C为（0，2），且对称轴方程为x=1，
∴C是A关于对称轴x=1的对称点，
连接AC，BC，则BC与对称轴的交点即为所满足PA+PB最小值时的P点，
过B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，可知CD=3，BD=3，
在Rt△BCD中可求得BC=3

2

，
即PA+PB的最小值为3

2

，
故答案为：3

2

．

点评：本题主要考查二次函数的性质及轴对称的性质，确定出P点的位置是解题的关键．