Question

如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，BF、CD相交于点M．
（1）若∠A=80°，∠ABC=50°，求∠BMC的度数．
（2）若其他条件均不变，只把题中的“BF是△ABC的高”改为“BF是△ABC的角平分线”的情况下，请探索∠A与∠BMC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠A=80°，∠ABC=50°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-80°-50°=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=×50°=25°，
∵BF是△ABC的高，
∴∠CFM=90°，
∴∠BMC=∠ACD+∠CFM=25°+90°=115°；

（2）∠BMC=90°+∠A．
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BF、CD是△ABC的角平分线，
∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），
在△BMC中，∠BMC=180°-（∠MBC+∠MCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，
即∠BMC=90°+∠A．
分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠ACD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（2）根据三角形的内角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义可得∠MBC+∠MCB=（∠ABC+∠ACB），然后在△BMC中，利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，整体思想的利用是解题的关键．