Question

12．如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．
（1）求证：△BFD是等腰三角形；
（2）若BC=4，CD=2，求∠AFB的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得到∠1=∠2，根据矩形的性质得到AD∥BC根据平行线的性质得到∠2=∠3，等量代换得到∠1=∠3，于是得到结论；
（2）由（1）可知BF=DF，设BF=x，则AF=4-x，根据勾股定理得到AF=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，由三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）依题意，∠1=∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴△BFD为等腰三角形；
（2）由（1）可知BF=DF，设BF=x，则AF=4-x，
在Rt△BAF中，（4-x）²+2²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴AF=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴cos∠AFB=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．