Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，O为坐标原点，点A的坐标是（3，0），点C在OA上且OC=1，连接BC．一动点P从点A出发，沿折线A→B→O的方向向终点O运动，记点P移动的路程为m．

（1）当点P在线段AB上运动时，连接OP，求满足△BPO≌△OCB的m值；
（2）连接PC，求△OPC的面积s关于m的函数表达式；
（3）如图2，过点P作边AB的垂线l，并以直线l为对称轴，作线段AC的对称线段A1C1 ． 请写出在点P的运动过程中，线段A1C1与y轴有交点时m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△BPO≌△OCB，

∴BP=OC=1．

∴m=AB﹣BP=3﹣1=2

（2）

解：①如图1所示：当点P在AB上运动时，过点P作PD⊥OA．

∵∠OAP=60°，∠PDA=90°，

∴∠APD=30°．

∴PD= PA m．

∴S= ×1× m= m；

②如图2所示：当点P在OB上时，过点P作PD⊥OA．

∵OP=AB+OB﹣m=6﹣m，

∴PD= （6﹣m），

∴S= ×1× （6﹣m）= （6﹣m）．

综上所述，S与m的函数关系式为S=

（3）

解：如图3所示：当点C的对应点C′落在y轴上时．

由翻折的性质可知：CC′⊥PE，DC=DC′，

又∵PE⊥AB，

∴DC∥PA．

∴∠C′CO=∠A=60°．

∴∠CC′O=30°．

∴CC′=2OC=2．

∴DC=1．

∵在△DCE中，∠EDC=90°，∠DCE=60°，

∴∠DEC=30°．

∴EC=2DC=2．

∴EC=CA．

∵DC∥AB，

∴ = ．

∴AP=2．即m=2．

如图4所示：当点A的对称点A′在y轴上时．

∵点A与点A′关于直线PD对称，

∴PA=PA′．

∵∠A=60°，∠AOA′=90°，

∴∠AA′O=30°．

∴AA′=2OA=6．

∴PA=3．

∴点B与点P重合，此时m=3．

如图5所示：当点P在OB上，点C′在y轴上．

∵∠PCO=60°，∠POC=60°，

∴△OPC为等边三角形．

∴PO=OC=1．

∴PB=2．

∴m=PB+AB=5．

∴线段A1C1与y轴有交点时m的取值范围是2≤m≤5

【解析】（1）由全等三角形的性质可知BP=OC，由m=AB﹣PB求解即可；（2）过点P作PD⊥OA，垂足为D，三角形OPC的面积S= OCDP，然后分为点P在AB和OB上两种情况求得PD的长，从而得到S与m的函数关系式；（3）求得点A′或点C′恰好在y轴上时m的值，从而可确定出m的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解两点间的距离的相关知识，掌握同轴两点求距离，大减小数就为之．与轴等距两个点，间距求法亦如此．平面任意两个点，横纵标差先求值．差方相加开平方，距离公式要牢记．