Question

5．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE
（1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD=1：5，求∠EOF的度数．

Answer 1

分析 （1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE=$\frac{1}{2}$∠AOE、∠EOD=$\frac{1}{2}$∠EOB，根据邻补角互补可得出∠AOE+∠EOB=180°，进而可得出∠FOD=∠FOE+∠EOD=90°，由此即可证出OF⊥OD；
（2）由∠AOC：∠AOD=1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD的度数，根据OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度数以及∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE，再根据邻补角互补结合∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE，可求出∠EOF的度数．

解答 解：（1）OF⊥OD．
证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠FOE=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠EOD=$\frac{1}{2}$∠EOB．
∵∠AOE+∠EOB=180°，
∴∠FOD=∠FOE+∠EOD=$\frac{1}{2}$（∠AOE+∠EOB）=90°．
∴OF⊥OD．
（2）∵∠AOC：∠AOD=1：5，∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD：∠AOD=1：5．
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠BOD=30°，∠AOD=150°．
∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠BOE=2∠BOD=60°，∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE．
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE=120°，
∴∠EOF=60°．

点评 本题考查了对顶角．邻补角以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合角平分线的定义找出∠FOD=90°；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出∠BOD的度数．