Question

如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO．
（1）求证：△AOB∽△BDC；
（2）设大圆的半径为x，CD的长为y：
①求y与x之间的函数关系式；
②当BE与小圆相切时，求x的值．

Answer 1

分析：（1）由AB与小圆相切，CD与大圆相切，根据切线性质可得∠OAB与∠OCD相等，都为直角，又BC与AB垂直，根据垂直定义得到∠CBA与∠CBD都为直角，则∠1+∠OBC与∠2+∠OCB和都为90°，由OC=OB，根据“等边对等角”得到∠OBC=∠OCB，根据等角的余角相等，得到∠1=∠2，由两对对应角相等的两三角形相似得证；
（2）①过O作OF垂直于BC，由三个角都为直角的四边形为矩形得到ABOF为矩形，根据矩形的对边相等，得到FB=OA，由OA的长得到FB的长，又BC为大圆的弦，利用垂径定理得到BC=2BF，从而求出BC的长，在直角三角形OAB中，由OA=1，OB=x，利用勾股定理表示出AB，由（1）得到的三角形相似得比例，把相应的值代入即可得到y与x的关系式；
②当BE与小圆相切时，根据切线性质得到OE与BE垂直，由OE和OC表示出EC的长，根据切线长定理得到BE=BA，表示出EB，在直角三角形ECB中，由EC，EB及BC的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．

解答：（1）证明：
∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相切于点C，
∴∠OAB=∠OCD=90°，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA=∠CBD=90°，（1分）
∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°，
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠1=∠2，（2分）
∴△AOB∽△BDC；（3分）

（2）解：①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形（4分）
∴BF=OA=1，
由垂径定理，得BC=2BF=2，（5分）
在Rt△AOB中，OA=1，OB=x
∴AB=

OB2-OA2

=

x2-1

，（6分）
由（1）得△AOB∽△BDC
∴

OB

CD

=

AB

BC

，即

x

y

=

x2-1

2

，
∴y=

2x

x2-1

=

2x x2-1

x2-1

；（7分）
②当BE与小圆相切时，OE⊥BE，
∵OE=1，OC=x，
∴EC=x-1，BE=AB=

x2-1

，（8分）
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：EC²+BE²=BC²，
即（x-1）²+（

x2-1

）²=2²，（9分）
解得：x₁=2，x₂=-1（舍去），（10分）
∴当BE与小圆相切时，x=2．（11分）

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理．遇到切线，连接圆心与切点，是常常连接的辅助线，借助图形，由切线的性质构造直角三角形，然后利用勾股定理解决问题．熟练掌握切线的性质是解本题的关键．