Question

如图，已知正方形ABCD中，点O为边AB上一点，以O为圆心，OB的长为半径的⊙O交边AD于点E，过点O作BE的垂线交边BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，再连接BG．
（1）求证：∠EBG=45°；
（2）若DE=2AE，求tan∠DEF的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：证明题

分析：（1）作BH⊥EF于H，连结OE，由OF⊥BE，根据垂径定理得OF平分BE，根据等腰三角形的性质得∠FOE=∠FOB，则可利用“SAS”判断△FOB≌△FOE，则∠OBF=∠OEF=90°，于是得到OE∥BH，根据平行线的性质得∠2=∠5，再证明出∠1=∠2，易证得Rt△BAE≌Rt△BHE，得到∠3=∠4，利用∠1+∠2+∠3+∠4=90°得到∠2+∠3=45°；
（2）设AE=a，则DE=2a，AB=3a，在Rt△AOE中，OE=OB=3a-OA，然后根据勾股定理可得到OA=

4

3

a，再根据正切的定义得到tan∠7=

3

4

，由OE∥BH得到∠OEG=90°，然后根据等角的余角相等得到∠7=∠8，所以tan∠8=

3

4

．

解答：（1）证明：作BH⊥EF于H，连结OE，如图，
∵OF⊥BE，
∴OF平分BE，
∴OF为等腰三角形OBE的顶角的平分线，即∠FOE=∠FOB，
在△FOB和△FOE中，

OB=OE ∠BOF=∠EOF OF=OF

，
∴△FOB≌△FOE（SAS），
∴∠OBF=∠OEF=90°，
∴OE∥BH，
∴∠2=∠5，
∵OE=OB，
∴∠1=∠5，
∴∠1=∠2，
在Rt△BAE和Rt△BHE中

∠1=∠2 ∠A=∠BHE BE=BE

，
∴Rt△BAE≌Rt△BHE（AAS），
∴BA=BH，
而BA=BC，
∴BH=BC，
在Rt△BGH和Rt△BGC中

BG=BG BH=BC

，
∴Rt△BGH≌Rt△BGC（HL），
∴∠3=∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EBG=45°；
（2）解：设AE=a，则DE=2a，AB=3a，
在Rt△AOE中，OE=OB=3a-OA，
∵OA²+AE²=OE²，
∴OA²+a²=（3a-OA）²，
∴OA=

4

3

a，
∴tan∠7=

AE

AO

=

a

4 3 a

=

3

4

，
又∵OE∥BH，
∴∠OEG=90°，
∴∠6+∠8=90°，
而∠6+∠7=90°，
∴∠7=∠8，
∴tan∠8=

3

4

，
即tan∠DEF=

3

4

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、等腰三角形的性质和正方形的性质；会运用三角形全等证明线段相等．