Question

如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA．
（1）试求∠DAE的度数．
（2）如果把题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？
（3）若∠BAC=α°，其它条件与（2）相同，则∠DAE的度数是多少？

Answer 1

解：（1）因为AB=AC，
所以∠B=∠ACB=30°，
因为BA=BD，所以，∠BAD=∠BDA=75°，
所以∠DAC=45°，
又有CA=CE，
所以∠E=∠CAE=15°，
所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°；

（2）不改变；令∠B=x°，BA=BD，
所以∠BAD=∠BDA==90°-x°，
∠ACB=180°-∠ACE=∠B+∠BAC，得∠ACB=60°-x°，
所以∠DAC=∠ADB-∠ACD=30°+x°，
又因为CA=CE，
所以∠E=∠CAE=30°-x°，
所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°

（3）α°．
设∠B=x°，
∵BA=BD，
所以∠BAD=∠BDA=90°-x°，∠ACB=180°-x°-α°，
所以∠DAC=∠ADB-∠ACD=-90°+x°+α°，
又因为CA=CE，
所以∠E=∠CAE=90°-x°-α°，
所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=α°
分析：（1）要求∠DAE的度数，只要求出∠DAC+∠CAE的度数．∠DAC=∠BAC-∠BAD．只要求出∠BAD的度数，∠BAD=（180°-∠B），而∠B=（180°-∠BAC），而∠CAE的度数，∵CE=CA∴∠E=∠CAE，利用三角形外角性质得，∠CAE=∠ACB；而∠ACB=（180°-∠BAC）；
（2）设∠B=x°，等腰三角形的性质得，∠BAD=∠BDA=90°-x°，三角形的内角和定理得，∠ACB=60°-x，所以，∠DAC=∠ADB-∠ACD=30°+x°，由等腰三角形的性质得∠E=∠CAE=30°-x°，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°
（3）设∠B=x°，等腰三角形的性质得，∠BAD=∠BDA=90°-x°，三角形的内角和定理得，∠ACB=180°-x°-α°，所以，∠DAC=∠ADB-∠ACD=-90°+x°+α°，由等腰三角形的性质得∠E=∠CAE=90°-x°-α°，所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=α°
点评：考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键．