Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延长CB至F，使BF=CD．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：△CAF为等腰三角形．

Answer 1

（1）解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC．
∴∠DCA=∠ACB=∠DCB．
∵DC=AB，
∴∠DCB=∠ABC．
∴∠ACB=∠ABC．
在△ACB中，∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°．
∴∠ACB+∠ABC=90°．
∴∠ABC+∠ABC=90°．
∴∠ABC=60°．

（2）证明：连接DB，
∵在梯形ABCD中，AB=DC，
∴AC=DB．
在四边形DBFA中，DA∥BF，DA=DC=BF，
∴四边形DBFA是平行四边形．
∴DB=AF，
∴AC=AF．
即△ACF为等腰三角形．
分析：（1）在三角形中，等边对等角，再利用角的等量关系可知∠ACB=∠ABC，在直角三角形中，两锐角互余就可求解．
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形，连接DB，根据等腰梯形的性质及线段间的关系及平行的性质，可证得AC=AF．
点评：本题主要考查等腰梯形的性质及等腰三角形的判定．