Question

14．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（4，8），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

Answer 1

分析 过D作DF⊥x轴于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=4，设OE=x，那么CE=8-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=8，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．

解答 解：如图，过D作DF⊥x轴于F，
∵点B的坐标为（4，8），
∴AO=4，AB=8，
根据折叠可知：CD=OA，
而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=4，
设OE=x，那么CE=8-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE²=DE²+CD²，
∴（8-x）²=x²+4²，
∴x=3，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
而AD=AB=8，
∴AE=CE=8-3=5，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EO}{DF}$=$\frac{AO}{AF}$，
即$\frac{5}{8}=\frac{3}{DF}=\frac{4}{AF}$，
∴DF=$\frac{24}{5}$，AF=$\frac{32}{5}$，
∴OF=$\frac{32}{5}$-4=$\frac{12}{5}$，
∴D的坐标为（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$）．
故答案是：（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

点评 此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．