Question

13．如图，在⊙O中，AB是直径，D、E为⊙O上两点，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，OD与BE交于F点，四边形BCDE是平行四边形．
（1）求证：四边形AODE是平行四边形；
（2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由∠BOD=60°得到E为$\widehat{AD}$的中点，得到$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，于是得到DE∥BC，根据CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；
（2）连接OE，由（1）知，$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDO=90°，
∵∠BOD=60°，
∴∠C=30°，∠AOD=120°，
∵E为 $\widehat{AD}$的中点，
∴∠AOE=∠DOE=60°，
∴∠BOE=120°，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE=30°，
∴∠C=∠OBE=∠E，
∴DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形；

（2）连接OE，由（1）知，$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BOE=120°，
∵⊙O的半径为6，
∴阴影部分面积=$\frac{60•π×{6}^{2}}{360}$=6π．

点评 本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$是解题的关键．