Question

13．已知，如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，5），且经过点（1，8）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）求△ABC的面积S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；
（2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；
（3）直接利用三角形面积求法得出答案．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点（0，5）、B（1，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{-1+b+c=8}\end{array}\right.$，
解这个方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的解析式是y=-x²+4x+5；

（2）y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴顶点坐标是（2，9）；
对称轴是x=2；

（3）∵二次函数y=-x²+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，
∴-x²+4x+5=0，
解这个方程得：x₁=-1，x₂=5，
即二次函数y=-x²+4x+5与x轴的两个交点的坐标为A（-1，0），B（5，0）．
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×OC=$\frac{1}{2}$×|5-（-1）|×5=15．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确得出二次函数解析式是解题关键．