Question

若以一个三角形的最长边所在直线为对称轴，把这个三角形进行翻折，则称所得的四边形为准菱形．
（1）如图，在以对角线AC所在直线为对称轴的准菱形ABCD中，BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）有同学说“如果在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，AC平分BD，那么这个四边形是平行四边形”，你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例．

Answer 1

（1）证明：∵AC是准菱形ABCD的对称轴，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△ABO和△CBO中，
∵，
∴△ABO≌△CBO（ASA），
∴OA=OC，
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）；

（2）不正确，例如：筝形ABCD，满足∠ABC=∠ADC，AC平分BD，但不是平行四边形．

分析：（1）根据AC是对称轴可得OB=OD，AC⊥BD，再根据BD平分∠ABC可得∠ABO=∠CBO，利用“角边角”证明△ABO和△CBO全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OC，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明；
（2）从两底边相等的等腰三角形，底边重合组成的四边形满足要求但不一定是平行四边形．
点评：本题考查了菱形的判定，主要利用了对角线互相垂直平分的四边形是菱形，（2）从等腰三角形的两底角相等考虑举反例．