Question

【题目】如图，在中，，于点，点在上，且，连接．

（1）求证：

（2）如图，将绕点逆时针旋转得到（点分别对应点），设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）EF=2HG

【解析】分析：（1）先判断出AH=BH,再判断出△BHD≌△AHC即可求解.（2）方法一、先判断出△AGQ∽△CHQ,得到,然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可；方法二、取EF的中点K，连接GK，HK，先证明GK=HK=EF,再证明△GKH是等边三角形即可.

详解：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，

∴AH=BH，

在△BHD和△AHC中，

，

∴△BHD≌△AHC，

∴

（2）方法1:如图1，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，

∴HD=HF，∠AHF=30°

∴∠CHF=90°+30°=120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=30°，

∴CG⊥AE，

∴点C，H，G，A四点共圆，

∴∠CGH=∠CAH，

设CG与AH交于点Q，

∵∠AQC=∠GQH，

∴△AQC∽△GQH，

∴，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，

∴EF=BD，

由（1）知，BD=AC，

∴EF=AC

∴

即：EF=2HG．

方法2:如图2，取EF的中点K，连接GK，HK，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，

∴HD=HF，∠AHF=30°

∴∠CHF=90°+30°=120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=30°，

∴CG⊥AE，

由旋转知，∠EHF=90°，

∴EK=HK=EF

∴EK=GK=EF，

∴HK=GK，

∵EK=HK，

∴∠FKG=2∠AEF，

∵EK=GK，

∴∠HKF=2∠HEF，

由旋转知，∠AHF=30°，

∴∠AHE=120°，

由（1）知，BH=AH，

∵BH=EH，

∴AH=EH，

∴∠AEH=30°，

∴∠HKG=∠FKG+∠HKF=2∠AEF+2∠HEF=2∠AEH=60°，

∴△HKG是等边三角形，

∴GH=GK，

∴EF=2GK=2GH，

即：EF=2GH．