Question

（2013•莆田）如图，抛物线y=ax²+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；
（2）若△ACD的面积为3．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是-3和1，设抛物线解析式的交点式y=a（x+3）（x-1），再配方为顶点式，可确定顶点坐标；
（2）①设AC与抛物线对称轴的交点为E，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，求出点E的坐标，即可得到DE的长，然后由S_△ACD=

1

2

×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可确定抛物线的解析式；
②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函数求出tan∠DAC=

1

3

．设y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4向右平移后的抛物线解析式为y=-（x+m）²+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．根据正切函数的定义求出OF=1．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）如图2①，F点的坐标为（0，1），（Ⅱ）如图2②，F点的坐标为（0，-1）．针对这两种情况，都可以先求出点P的坐标，再得出m的值，进而求出平移后抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1）=ax²+2ax-3a，
∵y=a（x+3）（x-1）=a（x²+2x-3）=a（x+1）²-4a，
∴顶点D的坐标为（-1，-4a）；

（2）如图1，①设AC与抛物线对称轴的交点为E．
∵抛物线y=ax²+2ax-3a与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，-3a）．
设直线AC的解析式为：y=kx+t，
则：

-3k+t=0 t=-3a

，
解得：

k=-a t=-3a

，
∴直线AC的解析式为：y=-ax-3a，
∴点E的坐标为：（-1，-2a），
∴DE=-4a-（-2a）=-2a，
∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE=

1

2

×DE×OA=

1

2

×（-2a）×3=-3a，
∴-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

②∵y=-x²-2x+3，
∴顶点D的坐标为（-1，4），C（0，3），
∵A（-3，0），
∴AD²=（-1+3）²+（4-0）²=20，CD²=（-1-0）²+（4-3）²=2，AC²=（0+3）²+（3-0）²=18，
∴AD²=CD²+AC²，
∴∠ACD=90°，
∴tan∠DAC=

CD

AC

=

2 18

=

1

3

，
∵∠PAB=∠DAC，
∴tan∠PAB=tan∠DAC=

1

3

．
如图2，设y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4向右平移后的抛物线解析式为y=-（x+m）²+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．
∵tan∠PAB=

OF

OA

=

OF

3

=

1

3

，
∴OF=1，则F点的坐标为（0，1）或（0，-1）．
分两种情况：
（Ⅰ）如图2①，当F点的坐标为（0，1）时，易求直线AF的解析式为y=

1

3

x+1，
由

y= 1 3 x+1 y=-x2-2x+3

，解得

x1= 2 3 y1= 11 9

，

x2=-3 y2=0

（舍去），
∴P点坐标为（

2

3

，

11

9

），
将P点坐标（

2

3

，

11

9

）代入y=-（x+m）²+4，
得

11

9

=-（

2

3

+m）²+4，
解得m₁=-

7

3

，m₂=1（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为y=-（x-

7

3

）²+4；
（Ⅱ）如图2②，当F点的坐标为（0，-1）时，易求直线AF的解析式为y=-

1

3

x-1，
由

y=- 1 3 x-1 y=-x2-2x+3

，解得

x1= 4 3 y1=- 13 9

，

x2=-3 y2=0

（舍去），
∴P点坐标为（

4

3

，-

13

9

），
将P点坐标（

4

3

，-

13

9

）代入y=-（x+m）²+4，
得-

13

9

=-（

4

3

+m）²+4，
解得m₁=-

11

3

，m₂=1（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为y=-（x-

11

3

）²+4；
综上可知，平移后抛物线的解析式为y=-（x-

7

3

）²+4或y=-（x-

11

3

）²+4．

点评：此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，三角函数的定义，三角形的面积、两函数交点坐标的求法，函数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用．