Question

（2013•莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°．设AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面积为S米²．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米²，黄色花草的价格为40元/米²．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？

Answer 1

分析：（1）连接AC、BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF为等边三角形，从而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，这样即可得出S与x的函数关系式．
（2）根据（1）的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W关于x的二次函数关系式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）连接AC、BD，

∵花坛为轴对称图形，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
同理，得到△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=AB-AE=4-x，
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
则EM=AEcos∠AEM=

3

2

x，
∴EH=2EM=

3

x，
故可得S=（4-x）×

3

x=-

3

x²+4

3

x．

（2）易求得菱形ABCD的面积为8

3

m²，
由（1）得，矩形ABCD的面积S=-

3

x²+4

3

x．
则可得四个三角形的面积为（8

3

+

3

x²-4

3

x），
设总费用为W，
则W=20（-

3

x²+4

3

x）+40（8

3

+

3

x²-4

3

x）
=20

3

x²-80

3

x+320

3

=20

3

（x-2）²+240

3

，
∵0＜x＜4，
∴当x=2时，W取得最小，W_最小=240

3

元．
即当x为2时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为240

3

元．

点评：本题考查了二次函数的应用，首先需要根据花坛为轴对称图形，得出EH∥BD，EF∥AC，重点在于分别得出EF、EH关于x的表达式，另外要掌握配方法求二次函数最值的应用．