Question

3．如图，OB是∠AOC内的一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，其中∠BOC是锐角．
（1）若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON的度数．
（2）若∠AOB=x，∠BOC=30°，求∠MON的度数．
（3）若∠AOB=90°，∠BOC=y，直接写出∠MON的度数．
（4）由（1）、（2）、（3）的结果，你能得出什么规律？（直接写出你的结论，不用说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由∠AOC=∠AOB+∠BOC得出其度数，再根据角平分线的定义得出∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC、∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，依据∠MON=∠COM-∠CON可得答案；
（2）根据（1）中的计算步骤可得答案；
（3）根据（1）中的计算步骤可得答案；
（4）由（1）、（2）、（3）得出规律．

解答 解：（1）∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°；

（2）∠AOC=∠AOB+∠BOC=x+30°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（x+30°），
∵ON平分∠BOC，
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=$\frac{1}{2}$（x+30°）-15°=$\frac{1}{2}$x；

（3）∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+y，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（90°+y）=45°+$\frac{1}{2}$y，
∵ON平分∠BOC，
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$y，
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°+$\frac{1}{2}$y-$\frac{1}{2}$y=45°；

（4）由以上可知，∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB．

点评 本题主要考查角的和差计算和角平分线，熟练掌握角的和差倍分计算是解题的关键．