Question

6．如图1，正方形ABCD的顶点A在原点O处，点B在x轴上，点C的坐标为（6，6），点D在y轴上，动点P，Q各从点A，D同时出发，分别沿AD，DC方向运动，且速度均为每秒1个单位长度．
（1）探索AQ与BP有什么样的关系？并说明理由；
（2）如图2，当点P运动到线段AD的中点处时，AQ与BP交于点E，求线段CE的长．
（3）如图3，设运动t秒后，点P仍在线段AD上，AQ交BD于F，且△BPQ的面积为S，试求S的最小值，及当S取最小值时∠DPF的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据DQ=AP，AD=BA，∠ADQ=∠BAP=90°，即可判定△ADQ≌△BAP（SAS），进而得出AQ=BP，且∠DAQ=∠ABP，再根据∠ABP+∠BAQ=90°，可得AQ⊥BP；
（2）延长AQ，BC交于点G，先判定△ADQ≌△GCQ（ASA），得出AD=CG=BC，即点C为BG的中点，再根据Rt△BEG中，EC=$\frac{1}{2}$BG=BC，可得EC=6；
（3）运动t秒后，AP=DQ=t，PD=CQ=6-t，根据△BPQ的面积=正方形ABCD的面积-△ABP的面积-△PDQ的面积-△BCQ的面积，可得S=$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{27}{2}$，进而得出当t=3时，S取得最小值为$\frac{27}{2}$，此时点P在AD的中点处，可判定△DPF≌△DQF（SAS），进而得到∠DPF=∠DQF，根据Rt△DQA中，tan∠DQA=$\frac{6}{3}$=2，即可得出tan∠DPF=2．

解答 解：（1）AQ⊥BP，AQ=BP，
理由：当点P在线段AD上时，
∵动点P，Q各从点A，D同时出发，分别沿AD，DC方向运动，且速度均为每秒1个单位长度，
∴DQ=AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠ADQ=∠BAP=90°，
在△ADQ和△BAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{DQ=AP}\\{∠ADQ=∠BAP}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△ADQ≌△BAP（SAS），
∴AQ=BP，且∠DAQ=∠ABP，
又∵∠DAQ+∠BAQ=90°，
∴∠ABP+∠BAQ=90°，
∴∠AEB=90°，
即AQ⊥BP；
当点P在AD的延长线上时，
同理可得，AQ=BP，AQ⊥BP；

（2）如图2，延长AQ，BC交于点G，
当点P运动到线段AD的中点处时，AP=DQ=$\frac{1}{2}$CD，
∴DQ=CQ，
又∵∠ADQ=∠GCQ=90°，∠AQD=∠GQC，
∴在△ADQ和△GCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQD=∠GQC}\\{DQ=CQ}\\{∠ADQ=∠GCQ}\end{array}\right.$，
∴△ADQ≌△GCQ（ASA），
∴AD=CG=BC，
即点C为BG的中点，
∵∠BEG=90°，
∴Rt△BEG中，EC=$\frac{1}{2}$BG=BC=6；

（3）运动t秒后，AP=DQ=t，PD=CQ=6-t，
∵△BPQ的面积S
=正方形ABCD的面积-△ABP的面积-△PDQ的面积-△BCQ的面积
=36-$\frac{1}{2}$×6×t-$\frac{1}{2}$×t（6-t）-$\frac{1}{2}$×6×（6-t）
=$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{27}{2}$，
∴当t=3时，S取得最小值为$\frac{27}{2}$，
且此时点P在AD的中点处，
∴DP=DQ=3，
在△DPF和△DQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=DQ}\\{∠PDF=∠QDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△DPF≌△DQF（SAS），
∴∠DPF=∠DQF，
∵Rt△DQA中，tan∠DQA=$\frac{6}{3}$=2，
∴tan∠DPF=2．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形以及二次函数的最值的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行计算求解．