Question

4．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AC和小圆相切于点B，过点B作AO的垂线交大圆于E，F，垂足为G，CF恰为大圆的直径．
（1）求证：AB=BC；
（2）求AE：AB：BE．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由切线性质定理可得：OB⊥AB，再由垂径定理即可得到AB=BC；
（2）连结AF，设小圆半径为R，由△OAB∽△FBA得：$\frac{OB}{BA}=\frac{AB}{FA}$，所以AB²=OB•AF=2R²，进而可求出AB=$\sqrt{2}$R，在RT△OAB中，OA=$\sqrt{3}$R，AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，BG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R，在RT△AEG中，EG=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R，BE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R，继而可得到AE：AB：BE的比值．

解答 证明：（1）连接OB，
∵AC是小圆的切线，
∴OB⊥AC，
∴AB=BC；
（2）连结AF，设小圆半径为R，
∵AC是小圆的切线，
∴OB⊥AC，
∴AB=BC，
又∵FO=OC，
∴AF=2OB=2R，
∵OA⊥EF，
∴$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，
∴AE=AF=2R，
由△OAB∽△FBA得：$\frac{OB}{BA}=\frac{AB}{FA}$，
∴AB²=OB•AF=2R²，
∴AB=$\sqrt{2}$R，
在RT△OAB中，OA=$\sqrt{3}$R，AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，BG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R，
在RT△AEG中，EG=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R，
∴BE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R，
∴AE：AB：BE=$\sqrt{6}$：$\sqrt{3}$：1．

点评 本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有切线的性质定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，对学生的综合解题能力较高．