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【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.

(1)求点A,B,C的坐标;

(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;

(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)A(2,0),B(﹣4,0),C(0,2);(2);(3)M(﹣1,﹣1)或(﹣1,)或(﹣1).

【解析】

试题分析:(1)分别令y=0,x=0,即可解决问题.

(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边,易知点E坐标,由此不难解决问题.

(3)分A、C、M为顶点三种情形讨论,分别求解即可解决问题.

试题解析:(1)令y=0得,∴,x=﹣4或2,∴点A坐标(2,0),点B坐标(﹣4,0),令x=0,得y=2,∴点C坐标(0,2).

(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边,∵AB=EF=6,对称轴x=﹣1,∴点E的横坐标为﹣7或5,∴点E坐标(﹣7,)或(5,),此时点F(﹣1,),∴以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=6×=

(3)如图所示,①当C为顶点时,CM1=CA,CM2=CA,作M1N⊥OC于N,在RT△CM1N中,CN==,∴点M1坐标(﹣1,),点M2坐标(﹣1,).

②当M3为顶点时,∵直线AC解析式为y=﹣x+1,线段AC的垂直平分线为y=x,∴点M3坐标为(﹣1,﹣1).

③当点A为顶点的等腰三角形不存在.

综上所述点M坐标为(﹣1,﹣1)或(﹣1,)或(﹣1).

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