Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC边上的垂直平分线交AC于D，交AB于E，延长DE到F，使BF=CE
（1）四边形BCEF是平行四边形吗？说说你的理由．
（2）当∠A等于多少时，四边形BCEF是菱形，并说出你的理由．
（3）四边形BCEF可以是正方形吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）四边形BCEF是平行四边形，要证明四边形BCEF是平行四边形可转化为证明FB=CE，FB∥CE即可；
（2）当∠A=30°时，四边形BCEF是菱形，由（1）可知四边形BCEF为平行四边形，只要证明邻边相等即可即证明BC=CE；
（3）不可以，因为∠BCE始终是锐角，所以四边形BCEF不可能是正方形．

解答：（1）四边形BCEF是平行四边形，理由如下：
证明：∵DF垂直且平分AC且∠ACB=90°
∴FD∥BC，AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠ABC=∠BCE，
∴BE=CE=BF，
∴∠BFE=∠BEF
∵FD∥BC，
∴∠BFE=∠BEF=∠ABC=∠BCE
∴∠FBE=∠BEC，
∴FB∥EC，
∵CE=BF，
∴四边形BCEF为平行四边形；

（2）∠A=30°，
证明：∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°且BE=CE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，
由（1）可知四边形BCEF为平行四边形，
∴四边形BCEF为菱形；

（3）不可以，
因为∠BCE始终是锐角，所以四边形BCEF不可能是正方形．

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质、正方形的判定，解题的关键是掌握各种特殊几何图形的判定方法和各种性质．