Question

如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，点A坐标为（m，2），点B坐标为（-4，n），OA与x轴正半轴夹角的正切值为

1

3

，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCBD的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：代数几何综合题,压轴题,待定系数法

分析：（1）根据正切值，可得OE的长，可得A点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据点的坐标满足函数解析式，可得B点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式；
（2）根据面积的和，可得答案．

解答：解：（1）如图：
，
tan∠AOE=

AE

OE

=

2

OE

=

1

3

，
得OE=6，
∴A（6，2），
y=

k

x

的图象过A（6，2），
∴2=

k

6

，
即k=12，
反比例函数的解析式为 y=

12

x

，
B（-4，n）在 y=

12

x

的图象上，
解得n=

12

-4

=-3，
∴B（-4，-3），
一次函数y=ax+b过A、B点，

6a+b=2 -4a+b=-3

，
解得

a= 1 2 b=-1

，
一次函数解析式为y=

1

2

x-1；

（2）当x=0时，y=-1，
∴C（0，-1），
当y=-1时，-1=

12

x

，x=-12，
∴D（-12，-1），
s_OCBD=S_△ODC+S_△BDC
=

1

2

×|-12|×|-1|+

1

2

×|-12|×|-2|
=6+12
=18．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式的关键，利用面积的和差求解四边形的面积．