Question

定义：对于任意的三角形，设其三个内角的度数分别为x°、y°和z°，若满足，则称这个三角形为勾股三角形．
（1）已知某一勾股三角形的三个内角度数从小到大依次为x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；
（2）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=，AC=，BC=2，BE是⊙O的直径，交AC于D．         
 
①求证：△ABC是勾股三角形；
②求DE的长．

Answer 1

（1）102；（2）①过B作BH⊥AC于H，设AH=x，则CH=，在Rt△ABH和Rt△CBH中，根据勾股定理即可求得，所以，则可得，再根据勾股定理的逆定理即可证得结论；②

试题分析：（1）由三角形的内角和、、xy=2160可得关于x、y、z的方程组，即可求得结果；
（2）①过B作BH⊥AC于H，设AH=x，则CH=，在Rt△ABH和Rt△CBH中，根据勾股定理即可求得，所以，则可得，再根据勾股定理的逆定理即可证得结论；②连接CE，则，再根据圆周角定理可得，即得BC=CE=2，，过D作DK⊥AB于K，设KD=h，则，由，即可求得结果．
（1）由题意可得：
由（3）得： 代入（2）得：
把（1）代入得：
（2）①过B作BH⊥AC于H，设AH=x，则CH=，

Rt△ABH中，，Rt△CBH中，
解得： 所以，
所以，                            
因为， 所以，△ABC是勾股三角形
②连接CE，则，又BE是直径，所以，
所以，BC=CE=2，
过D作DK⊥AB于K，设KD=h，则

由
所以，
所以，．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．