Question

小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．

（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？

（成本＝进价×销售量）

Answer 1

（1）由题意，得： w = (x－20)·y=(x－20)·()，即

w  （20≤x≤32）…………（4分）

（2）对于函数w 的图像的对称轴是直线.

又∵a=－10＜0，抛物线开口向下.∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大，

∴当X=32时，W=2160   …………（8分）

答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．

（3）取W=2000得，解这个方程得：x₁ = 30，x₂ = 40．

∵a=－10＜0，抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2000．

∵20≤x≤32        ∴当30≤x≤32时，w≥2000．    

设每月的成本为P（元），由题意，得：

∵，   ∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P的值最小，P_最小值＝3600.

答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．…（12分）