Question

【题目】在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点B在第一象限，顶点A，C分别在x轴和y轴上，直线l1：x=4与直线l2：y=4相交于点E，以点E为顶点的抛物线K经过点B（6，6）．

（1）求抛物线K的解析式．
（2）点P是线段OC上一点，点O关于AP的对称点为M，
①若点M落在直线l1或l2上时，将抛物线向下或向上平移多少，使其顶点落在AM上；
②若点M落在抛物线上，请直接写出一个符合题意的点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解: ∵直线l1：x=4与直线l2：y=4相交于点E，

∴点E的坐标为（4，4）．

设抛物线K的解析式为y=a（x﹣4）2+4，

∵抛物线K经过点B（6，6），

∴6=a（6﹣4）2+4，

解得：a= ，

∴抛物线K的解析式为y= （x﹣4）2+4

（2）解: ①以A为圆心，以6为半径画弧，交直线l1：x=4与直线l2：y=4相交于点M1、M2，

设M1（m，4），M2（4，n），

∵A（6，0），OM=6，

∴（m﹣6）2+42=62，（4﹣6）2+n2=62，

解得m=6﹣2 ，n=4 ，

∴M（6﹣2 ，4），

∴ = ，

解得，h1= ，

∴将抛物线向下平移4﹣ ，使其顶点落在AM1上；将抛物线向上平移4 ﹣4，使其顶点落在AM2上

②当点P与点C重合时，点M与B重合，点M在抛物线上，此时P（0，6）．

【解析】（1）首先找出E点的坐标，利用待定系数法即可求解；（2）①以A为圆心，以6为半径画弧，交直线l1：x=4与直线l2：y=4相交于点M1、M2，设M1（m，4），M2（4，n），由勾股定理得出关于m、n的方程，解方程即可；②当点P与点C重合时，点M与B重合，点M在抛物线上，此时P（0，6）．
【考点精析】通过灵活运用二次函数图象的平移和正方形的性质，掌握平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形即可以解答此题．