Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c分别交x轴于A（4，0）、B（﹣1，0），交y轴于点C（0，﹣3），过点A的直线y=﹣ x+3交抛物线于另一点D．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若点P位x轴上的一个动点，点Q在线段AC上，且Q到x轴的距离为 ，连接PC、PQ，当△PCQ的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接PD，在平面内是否存在△A1P1D1 ， 使△A1P1D1≌△APD（点A1、P1、D1的对应点分别是A、P、D，A1P1平行于y轴，点P1在点A1上方），且△A1P1D1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A1的横坐标m，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线经过A（4，0）和B（﹣1，0），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），

把C（0，﹣3）代入y=a（x﹣4）（x+1），

∴﹣3=﹣4a，

∴a= ，

∴抛物线的解析式为y= （x﹣4）（x+1）= x2﹣ x﹣3，

联立 ，

解得：x=﹣2或x=4（舍去），

把x=﹣2代入y=﹣ x+3，

y= ，

∴D的坐标为（﹣2， ）；

（2）

解：要使△PCQ的周长最小，

即只需要PC+PQ最小，

由题意知：Q到x轴的距离为 ，

即点Q的纵坐标为﹣ ，

设直线AC的解析式为y=k1x+b1，

把A（4，0）和C（0，﹣3）代入y=k1x+b1，

∴ ，

解得： ，

∴直线AC的解析式为y= x﹣3，

把y=﹣ 代入y= x﹣3，

∴x= ，

∴Q的坐标为（ ，﹣ ），

设C关于x轴对称的点为E，如图1，

∴E的坐标为（0，3），

设直线EQ的解析式为y=k2x+b2，

把Q（ ，﹣ ）和E（0，3）代入y=k2x+b2，

∴ ，

∴ ，

∴直线EQ的解析式为y=﹣3x+3，

令y=0代入y=﹣3x+3，

∴x=1，

∴P的坐标为（1，0）时，△PCQ的周长最小；

（3）

解：过点D作DF⊥x轴于点F，

过点D1作D1F1⊥A1P1，交A1P1的延长线于点F1，

∵△A1P1D1≌△APD，

∴AF=A1F1=6，PF=P1F1=3，DF= ，

当A1与P1在抛物线上时，

∵A1P1∥y轴，

∴此情况不存在；

当P1与D1在抛物线上时，

∵A1的横坐标为m，

∴P1的坐标为（m， m2﹣ m﹣3），

若点D1在直线A1P1的右侧时，如图2，

此时D的横坐标为m+ ，

把x=m+ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐标为（m+ ， m2+ m+ ），

∴F1的坐标为（m， m2+ m+ ），

∴P1F1=（ m2+ m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

= m+ ，

∴ m+ =3，

∴m=﹣ ，

若点D1在直线A1P1的左侧时，如图3，

此时D的横坐标为m﹣ ，

把x=m﹣ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐标为（m+ ， m2﹣9m+ ），

∴F1的坐标为（m， m2﹣9m+ ），

∴P1F1=（ m2﹣9m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

=﹣ m+ =3，

∴m= ，

当A1与D1在抛物线上时，

∵A1的横坐标为m，

∴A1的坐标为（m， m2﹣ m﹣3），

若点D1在直线A1P1的右侧时，如图2，

此时D的横坐标为m+ ，

把x=m+ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐标为（m+ ， m2+ m+ ），

∴F1的坐标为（m， m2+ m+ ），

∴A1F1=（ m2+ m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

= m+ ，

∴ m+ =6，

∴m= ，

若点D1在直线A1P1的左侧时，如图3，

此时D的横坐标为m﹣ ，

把x=m﹣ 代入y= x2﹣ x﹣3，

∴D1的坐标为（m+ ， m2﹣9m+ ），

∴F1的坐标为（m， m2﹣9m+ ），

∴A1F1=（ m2﹣9m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣3）

=﹣ m+ =6，

∴m=﹣ ，

综上所述，当m=﹣ 、 、 、﹣ 时，能满足题意．

【解析】（1）已知抛物线与x轴的两个交点为（4，0）和（﹣1，0），所以可设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），然后把（0，3）代入解析式即可求出抛物线的解析式，联立直线解析式和抛物线解析式即可求出D的坐标；（2）要求△PCQ的最小值，由于点Q是固定点，所以CQ是固定不变的，所以还需要求出PC+PQ最短即可，作出点C关于x轴的对称点E，连接EQ后与x轴交于点P，此时P点能够使得PC+PQ最短；（3）由题意画出图形可知，点D1的位置有两种情况，一种是D1在直线A1P1的左边，另一种是D1在直线A1P1的右边，另外△A1P1D1的两个顶点恰好落在抛物线上有三种情况，一是A1与P1在抛物线上，二是P1与D1在抛物线上，三是A1与D1在抛物线上，然后根据题意用含m的式子表示A1、P1、D1的坐标出来，然后利用全等三角形的性质即可求出m的值．
【考点精析】利用抛物线与坐标轴的交点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．