Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF．
（1）求线段EF的长；
（2）设EG=x，△AGE与△CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．

Answer 1

解：（1）∵EG⊥AD，CD⊥AD，
∴EG∥CD，
∴△AGE∽△ADC．
∴=，
∵AD=4，CD=3，
∴AC==5，
∴AE=EG，
同理可得；CF=FH，
∵AE+CF+EF=5，EG+FH=EF，
∴EF+EF=5
EF=，

（2）∵△AGE∽△ADC，
∴=，
∴AG=EG=x，
同理可得：CH=FH=（-x）
∴S=•x•x+•（-x）²=x²-x+（0＜x＜），
S_最小值==．
分析：（1）根据EG⊥AD，CD⊥AD，得出△AGE∽△ADC，=，求出AC，AE=EG，同理可得；CF=FH，再根据AE+CF+EF=5，EG+FH=EF，得出EF+EF=5，EF=，
（2）根据△AGE∽△ADC，=，得出AG=EG=x，同理可得：CH=FH=（-x），再根据S=•x•x+•（-x）²然后进行整理即可求出最大值．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定与性质列出比例式，求出线段的长度．