Question

10．已知二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²-3x-$\frac{5}{2}$
（1）用配方法求此函数的对称轴和顶点坐标；
（2）求函数的图象与x轴，y轴的交点坐标；
（3）根据对称轴来描述该函数的函数值随自变量的变化情况．

Answer 1

分析 （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解；
（2）利用坐标轴上点的坐标特征求二次函数图象与x轴和y轴的交点坐标；
（3）根据二次函数的性质求解．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}$x²-3x-$\frac{5}{2}$
=-$\frac{1}{2}$（x²+6x+9-9）-$\frac{5}{2}$
=-$\frac{1}{2}$（x+3）²+2，
所以二次函数图象的对称轴为直线x=-3，顶点坐标为（-3，2）；
（2）当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x²-3x-$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{2}$，则二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，-$\frac{5}{2}$）；
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²-3x-$\frac{5}{2}$=0，解得x₁=-1，x₂=-5，则二次函数图象与x轴的交点坐标为（-1，0），（-5，0）；
（3）当x＜-3时，y随x的增大而增大；当x＞-3时，y随x的增大而减小．

点评 本题考查了二次函数的三种常见形式：一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；顶点式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了二次函数的性质．