Question

如图，A，P，B，C是半径为4的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，则弦BC的长为________．

Answer 1

分析：过O点作OD⊥BC于D，连结OB，则OB=4，根据垂径定理得到BD=CD，由圆周角定理得∠ABC=∠APC=60°，而∠BAC=60°，则可判断△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得
OB平分∠ABC，即∠OBD=30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系可得到OD、BD，从而得到BC的长．
解答：过O点作OD⊥BC于D，连结OB，则OB=4，如图，
∴BD=CD，
∵∠ABC=∠APC=60°，
而∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∴OD=OB=2，
∴BD=OD=2，
∴BC=2BD=4．
故答案为4．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平方弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质以及含30°的直角三角形三边的关系．