Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）

Answer 1

证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF．
分析：连接BD、CD，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=CD，然后利用“HL”证明Rt△BED与Rt△CFD全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．