Question

已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后得到直线l，与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和直线l的解析式；
（3）在（2）中的直线l与x轴、y轴分别交于C、D，求四边形OABC的面积．

Answer 1

解：（1）设正比例函数的解析式为y=ax，反比例函数的解析式为y=，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），
∴3=3a，3=，
∴a=1，b=9，
∴正比例函数的解析式为y=x，反比例函数的解析式为y=；

（2）∵点B在反比例函数上，
∴m==，
∴B点的坐标为（6，），
∵直线BD是直线OA平移后所得的直线，
∴可设直线BD的解析式为y=x+c，
∴=6+c，
∴c=-，
∴直线l的解析式为y=x-；

（3）过点A作AE∥x轴，交直线l于点E，连接AC．
∵直线l的解析式为y=x-，A（3，3），
∴点E的坐标为（，3），点C的坐标为（，0）．
∴AE=-3=，OC=，
∴S_{四边形OABC}=S_△OAC+S_△ACE-S_△ABE
=××3+××3-=××
=．
分析：（1）利用待定系数法，由正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），即可求得解析式；
（2）由点B在反比例函数图象上，即可求得m的值；又由此一次函数是正比例函数平移得到的，可知一次函数与反比例函数的比例系数相同，代入点B的坐标即可求得解析式；
（3）构造直角梯形AEFD，则通过求解△ABE、△BDF与直角梯形ADFE的面积即可求得△ABD的面积．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，直线平移规律，四边形面积的求解方法等知识．主要考查学生数形结合的思想方法．