Question

如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）填空：当点D运动到点M时，∠ACE=______度；
（2）当点D在线段AM上（点D不运动到点A）时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）若AB=8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长．

Answer 1

（1）解：120；

（2）证明：∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）

（3）解：①当点D在线段AM上（不与点A重合）时（图1），

由（2）可知△ACD≌△BCE，
则∠CBE=∠CAD=30°，作CH⊥BE于点H，
则PQ=2HQ，连接CQ，则CQ=5．
在Rt△CBH中，∠CBH=30°，BC=AB=8，则．
在Rt△CHQ中，由勾股定理得：，
则PQ=2HQ=6
②当点D在线段AM的延长线上时（图2），
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CEB=∠CDA=30°
同理可得：PQ=6．
③当点D在线段MA的延长线上时（图3），
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠CBE=∠CAD
∵∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBQ=30°
同理可得：PQ=6
综上所述，PQ的长是6．
分析：（1）三角形内角和是180°，等边三角形的内角都相等，所以，其中一个内角的度数是180°÷3，结合图形可求得∠ACB=∠DCE=60°，从而可得∠ACE的度数；
（2）根据等边三角形的性质，利用SAS求证△ADC≌△BEC；
（3）①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，作Rt△CBH，在直角三角形中，利用勾股定理求得；②当点D在线段AM的延长线上时，求证△ACD≌△BCE，然后求值；③当点D在线段MA的延长线上时，求证△ACD≌△BCE后求值．
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA无法证明三角形全等．